報酬は扶養控除の対象にならないのですか？

まず、扶養控除の対象になるかならないかの基準は給与だからとか、報酬だからという問題ではなく「所得」がいくらかで判定されます。
所得が48万円を超えると親御さんは扶養控除を受けることができません。

ではこの「所得」というものがいくらになるかを計算する必要がありますが、質問者様の場合には雑所得に該当するかと思います。雑所得は収入から必要経費を引いたものが「所得」となりますが、仮に収入が10万円×12か月＝120万円で必要経費が20万円だとすると所得は100万円となりますので48万円を超えることになります。

ご質問の内容からはそれますが、学生とのことですのでトラブルに巻き込まれないためにも親御さんと相談されてお仕事を探されると良いかと思います。

よろしくお願いいたします。

ご丁寧な返答ありがとうございます。

よく、年収103万を超えなきゃ大丈夫というのを耳にしますが、48万を超える場合と、103万を超える場合は何が違うのですか？

よく言う103万円というのは「給与」の場合の年収ベースの話ということです。

つまりアルバイトやパートで支払われる給与の場合、給与所得控除といって所得を計算する上で無条件に55万円が収入から控除できます。つまり103万円までの収入であれば所得は103万円−55万円＝48万円以下となりますので扶養控除が受けられるということです。

結局は所得48万円を基準に考えます。

一番最初に私が質問した内容の仕事で得られるお金は、収入でしょうか、それとも給与なのでしょうか。

収入とはお金が入ってくることの総称です。
収入の種類として税法上では給与所得や不動産所得などといった分類があるのですが質問者様の収入は雑所得というものになると思います。
こちらで確認をされると良いと思います。
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/shotoku/1300.htm

回答していただきありがとうございました！