古着卸売を始めたい　大学一回

せどりでの古着販売は、開業届を提出しなければ雑所得になります。所得金額は、以下の様に計算されます。
収入金額-仕入-経費=雑所得金額
この雑所得金額が48万円を超えると、親の扶養から外れ、確定申告が必要になります。なお、親の所得が少なければ、扶養控除を受けられなくても税金には影響はないと思われます。

親は所得が低くて非課税なんですけど48万円までで大丈夫ですかね？
あとこれは古着商の許可いりますか？

親の収入が分からないため明確な回答はできませんが、親の課税所得が48万円以下であれば相談者様が扶養から外れても親の税金には影響はないです。なお、洋服(古着)の転売であれば、原則として古物商許可が必要になると思います。