確定申告の経費計算を行う期間と所得種別及び確定申告控除額に関してのご相談です。

①6月から9月までと期間が限定されていますので、雑所得（＊）に分類するのが適当と考えます。（継続していないので雑所得になると考えます。）
雑所得の場合は、必要経費以外に控除できる項目はございません。
ただし、業務委託の前後の正社員も同じ運転手の業務でしたら、事業所得に該当します。
事業所得であれば、青色申告承認申請書を提出していれば、10万円（帳簿等の要件を満たせば65万円）の特別控除がございます。
青色申告承認申請書は、開業の日から2月以内に提出しなければならないので、今からの適用はできません。

②必要経費には、業務委託を受けている前の準備費用や、その後の整理に係る費用も必要経費に計上できます。
従いまして、5月中に準備費用が発生していたり、10月に整理費用が発生していれば、これらも必要経費に計上できます。

③必要系に計上できるものは、ガソリン代、家賃・水道光熱費・携帯電話等の通信費のうち、業務に使用した分です。（支払額のうち、30%とか50％等按分計算します。）

（＊）事業所得と雑所得の区分の基準となる平成26年9月1日の裁決です。
大学の准教授が執筆及び講演等の業務から生じた所得を「事業所得」として確定申告したところ認められず、「雑所得」と判断されました。

所得税法第27条第1項及び所得税法施行令第63条に規定する「事業」については、その意義自体について一般的な定義規定を置いていないところ、その意味するところは、自己の危険と計算において独立して行う業務であり、営利性・有償性を有し、かつ、反復継続して業務を遂行する意思と社会的地位とが客観的に認められるものであると解される。
そして、ある所得が事業所得に当たるか否かを判断するに当たっては、当該所得が社会通念上「事業」といえる程度の規模・態様においてなされる営利性、有償性、反復継続性をもった活動によって生じる所得か否かによって判断すべきであり、この場合において「事業」といえる程度の規模・態様においてなされる活動といえるかどうかは、自己の計算と危険においてする企画遂行性の有無、その者の精神的肉体的労務の投入の有無、人的・物的設備の有無、その者の職業・経験及び社会的地位等を総合的に勘案して判断すべきである。

ご回答いただきましてありがとうございます。
雑所得は経費を計上して純利益が20万円以上だった場合に税務署へ申告しに行くという事でしょうか？

20万円を超える場合です。

以下、国税庁のHPからの引用です。

給与を1か所から受けていて、かつ、その給与の全部が源泉徴収の対象となる場合において、各種の所得金額（給与所得、退職所得を除く。）の合計額が20万円を超える

https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/shinkoku/tebiki2017/a/01/1_06.htm

ちなみにですが、業務委託期間はそこの委託での収入しかなかったのですけど雑所得になってしまうという認識で大丈夫ですか？

そうなります。
給与所得にはなりませんし、反復継続からして事業所得としての難しいのかも。