確定申告

「父親がやっている」ということは事業主はお父様ですからそれによる入金はお父様の所得になります。
疑いを持たれないようにお父様名義の口座に入金されるようにすべきです。
なお、あなたは事業専従者としてお父様から給与を受けることができます。

販売先サイトなど事情により早期に父親名義にすることは難しいです。父親がやっている野菜の所得は父親の所得として計上しても法的に問題はないのでしょうか？無知な質問ですみません。

サイトで発生した所得は父親に渡しています

入金先がお子様の口座でもお父様が事業をし、収入を得ているのですからお父様の所得で申告すべきです。
ただし、お子様の所得と指摘されかねません。

父親の所得であると証明する為にするべきことはありますか？また指摘にされた場合どのように対処すべきですか？

本来はお父様の所得ですが、入金先がお子様の口座なのはよろしくありません。
入金額をその都度、そのままお父様の口座に移すとともに、すぐに入金口座を変更する手続きを始めてください。
指摘された場合は、お子様の口座としてしまった理由を説明してください。
調査担当者に納得してもらえるかは調査のことですので分かりません。

納得されないと父親の所得ではなく子供の所得となることもあり得るのですか？

調査の問題ですのであり得ます。