給与所得の普通徴収

単発のバイトを申し込んだのですが、雇用契約となるといわれ、「給与所得となるため源泉徴収の対象となる」と連絡がきました。
この場合は、住民税の普通徴収をすることによって会社にバレないようにすることは可能でしょうか。

多くの自治体では副業が給与所得の場合、副業分の住民税を普通徴収にはできません。（特別徴収され、会社に通知されます。）

４月から本会社には入職したのが、1から3月に稼いでいた分として誤魔化すことは可能なのでしょうか。

会社からは、年末調整のために、副業の源泉徴収票の提出を求められます。
提出できなければ副業を疑われるかもしれません。

普通徴収切替理由書を提出すれば可能な場合もあると区のホームページに書いてありましたが、これは個人ではなく、給与支払い者が提出するのでしょうか。

年末調整のために、副業の源泉徴収票の提出を求められます。
→ 源泉徴収票には日付などが書いてあるのでしょうか。書いてなければ、1から３月の給与という説明も可能なのでしょうか。

そうです。
給与支払者が提出します。

通常、中途退職の場合、源泉徴収票には退職日が記載されます。