外国人夫の義理両親からの支援。贈与税について免除される部分はありますか？

扶養義務者相互に生活費等の贈与は、非課税になります。
下記を参考にしてください。
「参考・抜粋」
贈与税がかからない場合
夫婦や親子、兄弟姉妹などの扶養義務者から生活費や教育費に充てるために取得した財産で、通常必要と認められるもの
ここでいう生活費は、その人にとって通常の日常生活に必要な費用をいい、また、教育費とは、学費や教材費、文具費などをいいます。
 なお、贈与税がかからない財産は、生活費や教育費として必要な都度直接これらに充てるためのものに限られます。したがって、生活費や教育費の名目で贈与を受けた場合であっても、それを預金したり株式や不動産などの買入資金に充てている場合には贈与税がかかることになります。

扶養義務者（父母や祖父母）から「生活費」又は「教育費」の贈与を受けた場合には、原則として贈与税は課税されないこととなっております（相続税法21条の3）。
ご質問の結婚資金や引っ越し費用、日常の生活費用が、実の親子間で、必要な金額を必要な都度贈与されていて使い切っているものであれば、贈与税は課税されないものと考えます。
仮に相談者様の口座に入金されていたものであっても、それが御主人名義の口座が直ぐに開設できないために便宜的に入金されているだけで、実質的には御主人が受け取って使用しているのであれば、上記の取扱いに該当すると思われます。

たびたびすみません。課税されないとのことですが、課税されない場合、申告自体しなくてもいいのでしょうか？それとも申告はする必要があるが、非課税ということでしょうか？

課税されない場合は、申告する必要はありません。