離婚で、住宅ローンの借換えに贈与税は掛かりますか？

贈与税ではなく、譲渡所得税の対象になると思われます。
奥様が取得した住宅をご主人に売却する取引となりますので、家屋と土地をいくらで取得したのか、いくらで売るのかによって所得税の額が決まることになります。
ただし、居住用財産の譲渡の特別控除(3000万円)というものがありますので要件を満たせば所得税の負担もせずに済むと思われます

早速の回答ありがとうございます。
土地　700万　家屋1600万。
銀行からの借入れ　2300万です。
今現在、借入れ残高　1900万で夫が、銀行から借換え出来ればと思っています。
先生の仰る通りであれば、所得税・贈与税もかからないということでしょうか？

土地は価値が減りませんが、家屋は購入時より少し価値が下がります
https://www.nta.go.jp/m/taxanswer/3261.htm
仮に木造で6年経過となると、土地家屋あわせて2000万円程度の価値となり、それを1900万でご主人に売却しますと「売却損」ということになります。利益が出ていなければそもそも所得税が課されることはなく、名義変更をしっかりすれば贈与にもあたらないので贈与税が課されることもないです

度々申し訳ありません。
先生が仰っている前提は、離婚後ということでしょうか？
まだ、離婚届けは出してないのですが出してから銀行で借換えをするべきなんでしょうか？
ローンが解決してないので、離婚届けはまだ出してません。

売却損となるようでしたら、税務上は離婚前、離婚後は特に気にされる必要はないと考えます。
他の財産の財産分与などもあるようでしたら、離婚前か離婚後かによって影響があるかもしれませんので弁護士にご相談された方がよろしいかもしれません

助かりました。
ありがとうございました。