子供の口座について

金額が110万円ということなので、基礎控除以下となり、贈与があったことが認められれば贈与税の心配はございません。

ただし、贈与があったことが認められる状況になければいけません。
贈与の際は贈与契約書を作成し親権者が法定代理人として署名捺印することや預金管理をおばあ様が行わないことなど、贈与を否認されないような、実質として贈与があると認められる状況にされるのがよいのではないでしょうか。

将来、子供【中学生くらいまで親が管理】が口座を管理したら問題にならないでしょうか？

現行だと未成年である間は親権者様が管理していただければ問題ございませんが、成年されたタイミングで通帳と印鑑をお渡しし、お子様ご自身で管理できるようにして頂ければと存じます。
ただ、お子様が18歳で成年されるときには紙での通帳も印鑑もなくなるでしょうから、その時の状況に見合ったご対応をお願い致します。

かしこまりました。
ありがとうございました。