Living Trust in California

相談者の方が日本に住所がある等、相続税の納税義務者に該当することを前提として回答しますが、死亡日時点の財産評価額に応じて、相続税の申告が必要です。（死亡日の翌日から10カ月以内です）
日本国内、国外すべての財産が対象です。
リビングトラストは受益者の指定があると思いますが、それ以外の日本の財産などについては、遺言書がなければ相続人間で遺産分割協議を行い、遺産の帰属を決める必要があります。
不動産の名義変更や預金の解約はその後に行います。

米国での手続きについてはトラストの受託者（弁護士や銀行でしょうか？）に依頼するものかと存じます。