社内小口現金の扱いについて

小口現金出納帳を作成し、現金の保管場所が個人の通帳であることを明記して管理されていれば、贈与・横領の事実がないので、該当することはありません。

この場合、個人への贈与や所得とみなされ、税金が発生することはありますか？

一番いいのは銀行口座の担当者のいらっしゃるときだけに小口現金のやり取りをすることです。
ただ、やむを得ない状況で急に現金が必要となったら、きちんと記録や証拠を残した上で振込をすることになるかと思います。こうすれば所得や譲渡とみなされることはないかと思います。

また、小口現金の記録の書き換えが容易な場合、退職後、横領したと濡れ衣を着せられる可能性はありますでしょうか。

社内の詳細がわかりませんので断言できませんが、ありうると思います。

入金の依頼が口頭ベースで、個人には銀行口座の入金の記録しか残らないため

本来は、銀行口座担当者がいらっしゃるときだけ入金することにすべきです。また、指示が口頭ベースですと証拠が残らないため横領の温床になりかねません。今一度体制を見直されてはいかがでしょうか。

ご参考になれば幸いです。