親名義で借りた賃貸に住んで事業をした場合

親子が生計一の場合には、家賃の授受を行っても払った方は経費にならず、貰った方も収入にはなりませんのでご留意ください。
下記サイトの「3」（2）イをご参照ください。
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/shotoku/2210.htm

宜しくお願いします。

その賃貸に自分が住み、親は別の家に住み、事業で使用した範囲を経費にする場合はどうなりますか。
親に払った分は親の収入となりますか。

生計が別であれば先程の回答とは異なってきます。
転貸(又貸し)になりますので、相談者様が支払う家賃はご両親の収入になります。しかし、一方でご両親は大屋さんに家賃を支払っているのですから、相談者様から貰う家賃と大屋さんに支払う家賃が同額であれば、実質的には利益は生じないことになります。
宜しくお願いします。

同額の場合、親はとくに確定申告など何もすることはないということで大丈夫でしょうか。

はい、同額であれば所得は生じておりませんので、他に収入が無ければ確定申告は必要ないと思われます。
宜しくお願いします。