住民税について聞きたいです。

1.住民税額は、年末調整後の給与所得の源泉徴収票では分かりません。この計算は、会社が翌年に給与支払報告書を市区町村に提出したのち市区町村で計算されます。翌年の6月から給料から特別徴収になります。
2.住民税は、年収が100万円以下であれば非課税になると思います。年収が103万円のときの住民税の計算は以下のようになると思います。
給与収入金額103万円-給与所得控除額65万円=給与所得金額38万円
38万円ー基礎控除額33万円=課税所得金額5万円
5万円x 10% =5,000円

住民税の金額は、市役所や区役所で計算するので、税務署や会社ではわかりません。
知りたい場合は、今年の給料の予想の総額を計算して、市区町村の住民税課に聞くのが一番早いですし、正確だと思います。

年末調整は所得税の計算になりますので、住民税の正確な計算までは難しいと思います（おおよその金額であれば計算できます）。
なお、住民税の支払いは、アルバイト先が「特別徴収（給料からの天引き）」するところであれば、毎月の給料から住民税も天引きして納めてくれますが、そうでない場合には自分で銀行か郵便局で納めることになります。