兼業禁止の会社に勤めてる場合

短期派遣の仕事が給与所得になる場合は以下のようになります。
1.2か所以上から給与の支払を受けている人で、主たる給与以外の給与の収入金額と給与所得及び退職所得以外の所得の金額の合計額が20万円を超える人は確定申告が必要になります。副業が20万円以下であれば確定申告不要になります。
2.確定申告不要でも、住民税の申告は必要になります。副業が給与所得以外であれば確定申告において住民税の納付を普通徴収に選択できますが、副業が給与所得であれば本業の分と合算されて特別徴収になります。副業の情報が本業の会社に漏れることになります。

副業が「給与所得」以外の場合は確定申告書で住民税を「自分で納付」と選択すれば、副業分の住民税がご自宅に通知されます。（普通徴収）
副業が給与所得の場合、「自分で納付」はできず、本業分と副業分両方の住民税が本業の会社に通知されます。（特別徴収）
残念ながら、原則、副業も給与所得の場合、副業分の住民税と合わせて会社に特別徴収の通知がなされます。
いわゆる20万円以下申告不要ルールは所得税の規定ですので、住民税は申告しなければなりません。
副業も給与所得の場合、原則、普通徴収を選択できませんので会社にバレる可能性があります。
なお、副業が源泉徴収されているのであれば、所得税申告をすることにより還付される可能性があります。

市町村によっては、副業が給与所得でも普通徴収を選択できるところもあると聞いていますので、問い合わせてみてはいかがでしょうか。

短期の派遣でも、バレるリスクが高いという事ですね。やはり他で何か収入を増やす方法を考えたいと思います。ありがとうございました！