代表者変更について

会長・社長共に代表取締役の場合は、税務署等への変更届出は必要でしょうか。

税務署に出すべきです。
どちらが、税務署などの記載欄に、名前を記載しますか。
多分、
「 新代表取締役社長職に前専務取締役」
と思いますので、出してください。
県・市・また、労働保険・社会保険事務所にも出します。

法人の代表者が変わった場合は「異動届出書」を税務署・都道府県税事務所・市区町村に提出します。
代表取締役が変わらない（氏名に変更なし、役職名のみ変更）の場合は、原則税務署への届出は不要です。
今回は代表権者の顔ぶれが入れ替わるので、代表者の氏名変更として届出が必要です。