インボイス未登録、非課税請求

免税事業者であっても消費税を加味した請求書を発行することは法律上問題ありません。
ただし、ご相談のケースですと取引先との契約の問題になるかと思いますので、取引先のご担当者と話し合いをすべきかと思いいます。

おそらくインボイス制度によって免税事業者への支払いは消費税を控除できないことを理由に、消費税相当額の値引を意図しているのかと思います。
経過措置で免税事業者への支払いであっても現状は80％控除できるので交渉の余地はあるかと考えます。

例えば1万円の契約だったとして、請求書を「1万円(非課税)」として発行すること自体は問題はないですか？問題ないのであればそれでこちらも大丈夫ですが、もし違法ということでしたら変更する必要があるかと思いご質問でした。

1万円の契約だった場合、請求書の金額は「1万円（税込み）」という表記になります。

消費税法上、非課税となる取引は限定的に列挙されているものに限る（例えば土地の売却や居住用物件の貸付など）ので、「1万円（非課税）」という表記は基本的に不適切と考えます。

正確には誤解を含んでいます。
免税事業者であっても「非課税」になるわけではありません。
ただし、相手の意図としては「消費税分を上乗せしないで請求してほしい」という意味合いである可能性が高いです。