故人の不動産の固定資産税は誰が払うのか？

相続財産について遺産分割が確定していない場合には、その相続財産は各共同相続人の共有状態にあると言えます。その相続財産には積極財産（プラスの財産）のみならず、被相続人が負担すべき債務（消極財産）も含まれます。
つまり、お父様が負担すべき固定資産税は、相続開始と同時に相続人全員の債務として法定相続割合で引き継いだ状態になり、相続人の皆様が法定相続割合に応じて負担することになります。
なお、遺産分割協議において、法定相続割合と異なる割合で、債務の負担者を決定することも実務上は可能です。

一般的には、代表者の方が立て替え払いし、遺産分割が確定した後に精算するケースが多いかと思われます。