副業について

1.2か所以上から給与の支払を受けている人で、主たる給与以外の給与の収入金額と給与所得及び退職所得以外の所得の金額の合計額が20万円を超える人は、確定申告が必要になります。
2.副業が給与所得以外であれば、確定申告において住民税の納付を普通徴収で選択できますが、給与所得の場合は普通徴収の選択ができないため本業の方と合わせて特別徴収になります。そのため副業の情報が会社に漏れることになります。
3.市区町村によっては、副業が給与所得の場合でも普通徴収にできるところもあると聞きますので、お住まいの市区町村に確認されることをお勧めします。
4.扶養控除等申告書は、１か所にしか出せないことになっています。バイト先へ提出されたのであれば、取下げなければなりません。

扶養控除申告書について副業先に確認した所、所得税を差し引かれる金額を少なくするため、甲にて処理したので提出してもらった。区には提出しないと言われましたが、それは大丈夫なのでしょうか。

副業先の会社のやり方は、正しいやり方ではないと思います。下記の1,2の正しいやり方をすべきだと思います。
1.扶養控除等申告書は、1か所にしか提出できない。
2.所得税は、乙蘭(高い税金)で控除しなければならない。
もし、副業先の会社に税務調査が入れば、源泉所得税の修正を受けることになると思います。そして、相談者様もその修正の影響を受ける可能性がでてくると思います。

そうなると、私は副業先に再度連絡をし訂正をするように伝えれば良いのでしょうか･･･

相談者様の方で、ご事情を説明して、副業先の会社に訂正の依頼をお願いした方がよいと思います。