退職後の税金について。

回答します。
健康保険は、社会保険に加入していない場合は、国民健康保険に加入する必要があります。
手続きは最寄りの自治体の国民健康保険の係へ連絡してください。速やかに保険証の発行はしてくれます。その後、健康保険の納付通知が届きますので、納付することになります。
また、年金は最寄りの年金事務所へ退職した旨を連絡してください。
その後の納付方法等の指示があります。多分、窓口に行くことになるかも知れません。

任意で保険の継続とはどのようなことでしょうか？周囲の人は国保より社保の方がメリットが多いと言っていたため社保に入れるようにと考えています。任意では2ヶ月以上勤務すれば前職の職場から2年間の社保の継続ができると言うことでしょうか？

任意継続とは、退職後2年間社会保険に入れる制度です。
国民健康保険は全額自己負担ですが、社会保険は勤務先が半分負担することから、社会保険の方が保険料は低くなります。
但し、任意継続できる条件は、勤務先に確認してください。