留学に際して、扶養を抜かないといけないのか

居住者認定された場合には、全世界所得に対して課税されます。そのため現地でも課税がなされ、日本でも課税されることになります。厳密には外国税額控除などを利用して、一部二重課税については解消はされます。扶養に入ったまま非居住者となることもできますが、適用されるためには必要書類の提出も必要になります。どうすれば税負担が最も軽いかについては、現地でのアルバイトによって得る収入や国によって判断することになります。

そのまま扶養に入っていると、海外での所得も日本の所得であがってしまうということでしょうか？
必要書類の提出を怠った場合はどうなってしまいますか？

扶養の話と居住者の話は別になります。非居住者だとしても扶養に入ることは可能です。

https://www.nta.go.jp/taxes/tetsuzuki/shinsei/annai/gensen/kokugai/index.htm

必要書類の提出がない場合には扶養控除が受けられなくなります。

扶養に入っていて、4月に渡航するのですが、それまでの日本での所得が１００万だった場合、渡航先でアルバイトをすると所得が課税されてしまうということですよね？

その場合だったら、海外転出届を提出して渡航したほうが良いということですか？

渡航先の国にもよりますが、海外転出届を出して現地でアルバイト収入の申告をした方が税金が安い可能性は十分あります。具体的な金額等については現地の税理士や留学の斡旋元などに確認してみてください。