専従者給与をもらっている者の副業の確定申告とインボイスについて

①について
日本の居住者は、すべての所得について課税されます。よって、給与所得（青色専従者給与も給与所得です）以外にライター業（事業所得又は雑所得)あるのであれば、それをすべて合算して課税することになります。
なお、給与所得を１カ所からしかもらっていないのであれば、年末調整で納税が完結しますので、確定申告は不要となります。（医療費控除やふるさと納税などを適用する場合は除く）。
「専従者給与の場合は、一緒に行わないといけないのでしょうか。」という質問の趣旨がこれに合致しているかどうかは不明ですが。

②について
インボイス事業者登録すると課税事業者となり、消費税の申告をしなければならなくなります。
ライター業の取引先がインボイスを求めているのであれば、インボイス事業者登録が必要かもしれませんが、反面、消費税の納税負担が増えます。
取引先によってはインボイスがなくてもそれなりの対応をしてくれる場合もあります。そうであれば、消費税の負担が増えるリスクをわざわざ負う必要があるのかということが言えます。
税理士が言っているのはこのことだと思われます。
一度、取引先の反応を見て、それからインボイス事業者登録をすべきかどうか判断する必要があると思われます。

③について
e-Taxを利用して申告や申請をする場合には、「利用者識別番号」が必要です。「利用者識別番号」をすでに取得しているのであれば、e-Taxを利用できる環境になりますので、後はマイナンバーカードさえあれば、申請は出来ます。
なお、「先日自分のe-Taxを使って登録をしようとしたのですが、登録がされていないということでしょうか。」という質問は、「利用者識別番号」が二重に登録されているという意味に受け取られるのですが、そうであれば、新しい方の番号が有効になっているはずです。