海外でのボランティア報酬って日本で確定申告が必要ですか

ワーホリ期間がどのくらいの長さであったか等、貴方がオーストラリアに滞在中日本非居住者とされれば、日本では課税されません（確定申告不要）。

逆にオーストラリア滞在期間が短く、日本居住者とされる場合は日本で確定申告が必要になることがあります。

オーストラリアには364日滞在していました。（日本にそのうち5日間は一時帰国しました）
ワーホリに行く際、住民票は抜きませんでした。
この場合は、日本の居住者となり、申告が必要でしょうか。

住民票は所得税法上は直接関係ありません。

貴方が１年以上オーストラリアに滞在する「つもり」で日本を出国したのであれば、オーストラリア滞在中日本非居住者とされることも考えられますが、証明が難しいのであれば、実際の滞在期間での判断になるかと思います。
１年に満たない滞在期間だったのであれば、日本居住者とされる可能性が高いでしょう。

2023年10月13日出国（14日入国）、2024年10月12日帰国だと、1年とは見なされないでしょうか

出国日の翌日から入国日の翌日と考えて、ちょうど１年ですね。
オーストラリア滞在中は日本非居住者ではないでしょうか。

あまりに微妙なので、税務署に個別相談されることをお勧めします。