スマホの下取りは消費税非課税か、請求書がなくても良いか

一般論として回答します。

通常は下取り業者と請求書や領収書のやり取りをすることはないと思いますが

⇒下取り業者から領収書が発行されるのが一般的と思われます。

事業用に使ったスマホであれば、請求書がないと問題になるのでしょうか。

⇒金額や状況にもよりますが、通常は購入時点で既に費用処理（または減価償却）を行っているケースが多いと考えられます。
そのため、下取り時において改めて取得費を控除する場面はなく、購入時の請求書が手元になくても、原則として問題になることはないと考えられます。

下取りにおいて消費税は発生するのでしょうか。

⇒事業用資産の下取りは、事業用資産の譲渡（売却）に該当します。
そのため、下取り相当額は課税売上（消費税10％）に該当します。