経費の申請について

お答えします。
副業の方は月８千円、年間１１万円程度でしょうか。
もう一つ副業をしておられるけれども、交通費ばかりかかり、収入がない、
ということでしょうか？
その収入を得るために必要な費用かどうかで、可否が分かれる、というのが原則です。
それらが貴方様の事業所得、事業としての収入を獲得するための、経費、ということで説明がつくものであれば、事業所得として収支計算をして、確定申告する、その上で、赤字になってしまったら、事業所得としての申告であれば、給与所得から損益通算は可能ではあります。
それぞれの仕事などの内容が具体的にわからないので、具体的な判断は難しいところです。
事業所得として申告した場合でも、確定申告書で、住民税は自分で納税すると選択すれば、勤務先への住民税の通知には、事業所得は反映されません。しかし、給与所得から損益通算でマイナスする場合には、会社への住民税の通知上で、そのマイナスを反映した数字になると思いますので、会社に知られたくない、という部分が、どの程度の希望なのか、というところが必ずしもご質問からは明らかでありませんので、十分でない可能性もあります。
取り急ぎ回答とさせていただきます。