保険の契約者変更について

契約者変更のタイミングでは課税されないです。
あくまで満期保険金が入ってきた時のタイミングで課税が生じます。

素早い返答ありがとうございます
契約をして保険料を1ヶ月だけ祖母が支払い
その後すぐに契約者変更をして満期の受け取りも私に変えた場合は
どうなるのでしょうか？

一カ月分の保険料払い込みに対する満期保険金の額が贈与税の対象ですね。
例えば60か月同額の保険料なら満期保険金の額×1/60です。

もし払い込み期間中に相続が起きたら説明がややこしくなるので、割愛しています。