子供名義の預金　贈与成立は？

お子様が18歳の時が贈与の成立時とすべきでしょう。
それまではお子様が預金の存在を知らなかったこと、18歳の時に通帳を渡し、印鑑は親が保管していたものの必要時に使えるように約束していたことが理由です。
贈与税申告納税は6年が時効です。
すでに時効を迎えていますので申告納税は不要です。

①18歳の時はただ口約束ですが、物的証拠はありません。それでも大丈夫なのですか
②追加質問ですが、通帳も親が保管していた場合はどうなるのでしょうか

①口約束も贈与契約が成立しますが、贈与契約書などの物的証拠がないため調査で指摘があった場合、対抗できない可能性はもちろんありますので、大丈夫とは言えません。
②通帳を親が保管していた場合、客観的にはたして贈与といえるかという問題がありますのでより指摘されやすくなります。

これらは、調査時において税務署がどうみなすかの問題ですので、万が一指摘があった場合は、親子間で贈与の同意があったと主張するしかないでしょう。