生前贈与の課税

贈与は、財産をあげる人の意思表示と、貰う人の受諾の両方が必要です（民法549条）。
ご相談のケースでは貰う人（子供さん）の受諾がありませんので、贈与そのものが成立していません。つまり、子供さん名義の預金口座に入っているお金は子供さんのものではなく、依然として相談者様のお金と判断されます（名義預金）。
したがって、子供さんに贈与税がかかることはありません。

ご教示ありがとうございます。
今後の贈与については贈与契約書を作成することを考えます。

ご連絡ありがとうございます。
贈与者と受贈者の意思の合意を明らかにするためにも、贈与の都度、贈与契約書を作っておかれるのが宜しいと思います。
なお、受贈者（子供さん）が未成年の場合には、未成年者は法律行為（贈与契約）ができないため、親権者の同意のある内容で贈与契約書を作る必要がありますのでご留意ください。
宜しくお願いします。

ありがとうございます。
ご指摘の点について、よく考えてみます。