贈与契約書は、贈与された側、贈与した側、どちらが作成しても良いですか。

贈与とは、あげましょう。もらいます。という契約です。

あげましょう。いりません。
もらいたい。あげません。
では成立しません。

当然、契約書は、贈与者、受増者双方が同意の上、共同して作るです。（贈与自体は、契約書がなくてもできますので、作るかどうかは任意です。）
遺言のように、一方的に作るものではありません。

ひな形は、贈与契約書ぐらいだったらネットで検索すれば色々でてくると思います。

回答ありがとうございます。
ひな形もありました。
質問なのですが、
譲与（入金）した際、私の銀行の振込受付書（相手方と、入金した金額）と、相手通帳に私の名前が入った形での入金がされていますが、これで相手に贈与したという証拠になりますでしょうか。

通帳を通すのがベストですから、それで良いと思います。

お忙しい中、回答ありがとうございました。