外注先が氏名やマイナンバー等の個人情報を一切教えてくれません

まずは、ネットでの取引情報を保存されたら良いと考えます。

取引内容は全てメールに残っていますが、相手の個人情報が何も分からないので源泉徴収できない状態です。このまま放置するといつか税務調査が入った時に指摘されて余計に延滞税を払う羽目になると思います。そうならないためにもマイナンバーや氏名を教えて貰いたいのですが拒否されています。この場合どうしようもないのでしょうか？

マイナンバー等がわからなくても、源泉徴収すべき場合には、源泉徴収されたら良いと考えます。。
源泉徴収した所得税は、翌月10日までに税務署に納付する事になります。

今まで源泉徴収をしたことがないので分からないのですが、個人情報が不明でも源泉徴収（の納付）はできるものなんでしょうか？

マイナンバーの報告は義務ですが、拒む人については、税務署にその旨を伝えれば、特に問題はありません。

マイナンバーだけでなく住所や氏名も教えてくれないんですが、それでも源泉徴収の納付は可能なのでしょうか？支払いの証拠は銀行振込の履歴として残っています。

源泉徴収義務者として、源泉徴収は可能と考えます。
その場合には、翌月10日までに、税務署に納付します。

個人情報が分からなくても可能なのですね。詳しくは税務署に問い合わせてみます。ご回答頂きありがとうございました。