市販の領収証綴りのまま保管しないといけないのか？

綴りのまま保存してください。
バラバラにすると、万が一、確認を求められた際に、よろしくない状況です。もちろん、書損した場合でも1枚がダメになっていることを明らかにするのは大事です。
そのままでないと会社の経理力管理能力を低くみた調査展開が待っていますから、１枚を誰かに悪用されてもすぐわかる一連番号順でひと綴りを保持してください。

　控を切り取って経理伝票に貼り付けて使うことは問題ないのでしょうか？
　⇒　可能ではありますが、あまりお勧めいたしません。
　　　請求書の綴りの場合、書き損じが生じた請求書もその旨を記載するとともに、相手に交付する請求書も併せて保管することにより「売上除外」などをしていないことの証明になります。
　　　
　　　

控えを切り取って保管すること自体は直ちに問題とはなりませんが、「取引の連続性と改ざん防止」が担保できるかが判断の軸になります。綴りのまま保管する趣旨は、通し番号や未使用分を含めた一体管理により不正の有無を検証できる点にあります。したがって、切り取る場合でも、番号管理台帳の整備や未使用分の保管状況が確認できる体制を構築することが重要です。実務的にはスキャン保存と併用し、原本の所在と番号の対応関係を明確にしておくことで、利便性と証憑力の両立が図れます。