インボイスの登録について

課税事業者はいつでも「適格請求書発行事業者の登録申請手続」ができますが、「適格請求書発行事業者」となるのは「登録を受けた日（通知書に記載されています）」からです。
期首に遡って「適格請求書発行事業者」となるわけではありませんので、注意が必要です。

今期、すなわち12月までの登録であれば十分に間に合います。
ただし、インボイスの登録には申請からおおよそ2週間程度を要するため、「申請＝即登録」とはいきません。
いつから適格請求書を発行できるかは、申請日によって変わるため、今期分をできるだけ多くカバーしたい場合には、一日でも早い申請をおすすめします。
なお、登録日前にさかのぼってインボイスを発行することはできませんので、この点も十分ご注意ください。

適格請求書発行事業者の登録申請手続を失念していたのですが、今期中（今から）でも間に合いますか。

消費税の納付には、インボイスの登録の有無は関係ありません。
しないでもよいです。
売り先がインボイスの登録を求めるようなところがあれば、したほうがよいでしょうが。
消費税は複雑です。特に、インボイスの登録をした後はなを迷路です。
できればしたくないものです。

はい、今期中（＝課税期間の途中）でも「適格請求書発行事業者（インボイス事業者）」の登録申請は可能です。
ただし、登録日をいつにするかで、消費税の扱いが変わるため要注意です。