海外居住者が身内の者名義の口座でお金を一時的に預ってってもらう場合

本件、本来なら実態通りに海外のお手元まで送金していただくのが良いのですが、次善の策として「弟さんへの貸付」ということにしておくのが良いと考えます。
放置しておくと弟さんへの贈与と認定されてしまう恐れもありますので、しっかりと契約書を用意して「貸付」の体裁を整えましょう。
以下の国税庁のWebページが参考になりますのでご参照ください。
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/zoyo/4420.htm

貸付の体裁を整えることで、ご質問いただいたことがかなり整理できます。
1) 預かってもらっているお金が私のものだということを証明するのにどういう書類が必要なのか
→金銭消費貸借契約書（借用書）が証明になります。

2) 預かってくれている弟にはいかなる税の負担をかけたくないので、そのためにはどういう手続きをするべきか、
→金銭消費貸借契約書（借用書）を適切に作成することです。

3) 預かってもらっている途中でもし弟が亡くなった場合、どうなるのか
→ご質問者様が弟さんにお金を貸している扱いになるので、弟さんの相続人がその負債を相続することになります。よって、相続人の方から返してもらうことになります。

4) 預かってもらっている途中でもし私が死亡した場合、私の夫あるいは子どもがそのお金を問題なく受け取るにはどのような手続きが必要なのか
→ご質問者様が弟さんにお金を貸している、という財産が相続対象になりますので、夫さん、お子さんが弟さんからお金を返してもらう権利を相続します。

回答ありがとうございます。
貸し付けるのとただ預かってもらうの性質的にかなり違うような気がするのですが。
押印あるいはサイン入りの預かり証では駄目なのでしょうか。

ご確認いただきありがとうございます。
預かり証では少々弱いかな、と考えたため、あえて貸付金とする案をご提示いたしました。
参照先として提示したWebページに、「「ある時払いの催促なし」または「出世払い」というような貸借の場合には、借入金そのものが贈与として取り扱われます。」との記載があるためです。
「返す予定がちゃんとある」ということが重要かと存じます。