ないしょで副業できるのか

正社員としての収入がある場合には、月3万円のアルバイトでも住民税は課税されることになると考えます。
正社員として勤務されている会社が住民税を特別徴収(給与天引き)している場合には、通常は他の給与も合わせて特別徴収になりますので、住民税の納税通知書を注意深く見ればアルバイトの収入があることが勤務先に知られる可能性は否定できないと考えます。

ありがとうございます。現在母子家庭で住民税の非課税世帯です。その場合はどうなりますか?

ご連絡ありがとうございます。
アルバイトの収入を加えても住民税非課税世帯に該当する場合には、会社にアルバイトのことは知られないと思われます。

金額を確認しないといけないわけですね。ちなみに今月からアルバイトをして収入が増えますが、その場合いつからの住民税の計算に適応されるのでしょうか?

住民税は前年の所得が課税標準になります。
そして、住民税の非課税限度額は次のように計算されます。

≪非課税限度額の基準≫
・均等割　所得金額 ≦35万円 ×世帯人数 + 21万円（※2）
・所得割　所得金額 ≦35万円 ×世帯人数 + 32万円（※2）
世帯人数：本人、控除対象配偶者及び扶養親族の合計数
（※2）21万円、32万円の加算は、控除対象配偶者又は扶養親族を有する場合のみ

所得金額とは源泉徴収に載っているものでしょうか?
均等割、所得割どちらの計算で行うものでしょうか?

所得金額は給与所得者の場合には源泉徴収票の「給与所得控除後の金額」になります。
両方を計算して非課税になるかどうかを判断する必要があります。