特定口座からNISA口座に移す流れについて

　ご相談の点は、税制上の取扱いというより口座間の資金移動の問題と考えられますので、ご要望のような資金移動について契約が可能な証券会社等があれば可能かと思います。
　一度取引先の証券会社に相談されてはいかがでしょうか。
　取引先でご要望の設定ができないなら他の証券会社等に照会してみるしかないように思います。

税制上は特に何の規制もないということなんでしょうか？

　税制上、特定口座からNISA口座へ資金を移して取引することは可能です。
　特定口座で保有している証券そのものをNISA口座に移すことはできません。