アルバイト掛け持ち時の確定申告等について

掛け持ちをすると、確定申告に行かなくてはならないのでしょうか？

年末調整された給与収入の他に20万円を超える給与収入があると確定申告しなければなりません。両方のアルバイト先から交付される源泉徴収票を基に申告をします。

どちらのアルバイト先でも扶養控除申告書を提出しました。
それに関しては問題ないのでしょうか？

扶養控除申告書は主たるアルバイト先1か所のみにしか提出できませんのでどちらかを取り消してください。つまり、先ほどの回答の年末調整されたアルバイト先は扶養控除申告書を提出した方になります。

また、月に88000円を超えたらいけないということを耳にしましたが・・・

月に88000円を超える収入があると所得税が引かれます。扶養控除申告書の提出を取り消すべきアルバイト先からは本来、収入にかかわらず、所得税が引かれます。年収103万円以内であれば、申告により還付されますので問題ありません。

トータル103万超えないような形です。それについては問題ありますか？

最終的に1年間の給与収入の合計が103万円を超えなければ、親の扶養内でいられます。

扶養控除申告書は一ヶ所のみなのですね。
二ヶ所に出したのですが、罰則はあるのでしょうか？

また、取り下げるとしたらどちらを取り下げるべきなのでしょうか

先に働いているA社←去年扶養控除申告書提出済み
今月から働くことになるB社←今月扶養控除申告書を提出した

給料はどちらも4万と少しくらいです

罰則はありません。
Ｂ社の申告書を取り下げるべきです。

親が母親のみの母子家庭で、非課税で、
どちらか一方は無効になるだけだから
気にしなくていいのでは？とB社に言われたのですが
それでも取り下げてほしいと言うべきですか？

そのままでいいとはいえません。
2つの源泉徴収票を添付して確定申告すると税務署からこれについて確認されるかもしれません。
『Ｂ社から「気にしなくていいのでは？」と言われた』とあなたが税務署に言ってもＢ社はかまわないということでしょうか。

なるほど、
やはり、B社に扶養控除控除申告書を取り下げてもらいたいと思います。

その上で確定申告にはやはり行かなくてはならず、２つの会社の源泉徴収票を持っていくと言うことでしょうか？

そうですね。
2社とも月約4万円の収入であれば、申告が必要です。
所得税が引かれていれば申告することで還付されます。