扶養控除申請書の提出し忘れで、所得税が前年度の3倍〜4倍を支払い続けていました。

年末調整の対象となる人は、「給与所得者の扶養控除等申告書」を年末調整を行う日までに提出している一定の人です。
あなたの場合、おそらく10月までは扶養控除等申告書を提出していなかったために、税額表乙蘭が適用されていたものと思います。
通常、年末調整は最後の給与の支給時に行われますので、あなたがそれまでに扶養控除等申告書を提出すれば、年末調整の対象にはなると思われます。
会社から、「過払い分は返ってこない」と言われた具体的な理由は分かりませんが、仮に年末調整で税金の精算ができないのであれば、来年確定申告して精算してください。

ご丁寧な回答ありがとうございます。
度々の質問で申し訳ありません。
本来であれば、2018年の12月もしくは2019年の1月までに扶養控除申告書を提出していれば
2019年の1月からの所得税は今まで通り（高額に上がる前）の金額になっていたのでしょうか。
派遣会社で働いているのですが、書類が未提出でも連絡がないため
来年度も同じ自体になるのではと困っております。。
2020年度分の扶養控除申告書は2019年の12月～2020年の1月に提出すれば
2020年1月の給料から甲欄が適用されるという認識で間違っておりませんでしょうか。
何卒よろしくお願い致します。

そうですね。今年は最近まで扶養控除等申告書が提出されていなかったために、乙欄適用に、仮に当該書類を提出しておれば、甲欄適用だったと思います。
なお、通常であれば、勤務先から保険料控除申告書等年末調整書類を交付される際に、翌年分の扶養控除等申告書も併せて交付されると思います。
あなたは、派遣という雇用形態ということなので、正規雇用者と同様な手続きが取れない場合もあるかもしれませんが、その場合であっても、自主的に扶養控除等申告書は提出するようにしてください。

承知致しました。
分かりやすくご回答頂き、本当にありがとうございました。