修正申告について

1か所目の勤務先では、1か月分のみ給与を友人の口座に振り込み、その友人から私が受け取るという形式が取られました。これは明らかに正当な方法ではないと思いながらも、以前からもこの方法で何度も行ってきたという話を聞き、大丈夫だろうと考えてしまいました。ですが、罪悪感があり、そのような方法はその1か月（約5万円弱）のみにとどめてその後は自身の口座に振り込んで貰っています。

上記は全て不正です。企業ぐるみの不正です。脱税行為です。どのような場合にも行ってはいけないことです。

2か所目の勤務先でも同様に、「こちらでどうにかするから、働いてもらえないか」と言われ、一度は断ったものの、勤務を継続してしまいました。勤務中、経理担当の方に何度も確認をしましたが、「正当な方法で処理している」との説明を受けていたため、それ以上深く追及はしませんでした。収入は現金で貰ってました。どのようにしてるのかは詳しくわかりません。

上記も脱税です。不正行為です。行ってはいけません。罪は重いと考えます。
① 自主修正申告をした場合のペナルティや課税について 私自身にどのような税負担や罰則が発生する可能性があるか、

金額にもよりますでしょうが、いけないことを行っています。
また、親の扶養から外れることによる影響はどの程度の額かについて教えていただきたいです。
親に聞いてください。正直にお話しください。扶養控除の金額がなくなるだけです。
所得税率と住民税率10％の分が＋なります。昨年は定額減税分30,000円も＋になります。

② 現在、金融機関から内定をいただいております。このような税務上の修正申告を行った場合に、内定取り消しなどのような影響がありますでしょうか？

渡した企業の担当者でしたら、上記の話を聞いた場合には、採用しないと考えます。
③ 税務署にはどのように事情を説明し、相談・申告を進めれば良いでしょうか。言い方や持参する書類など、具体的なアドバイスをいただきたいです。

正直に、記載の内容をお話しください。それが一番です。
税務署にその後は任せてください。
早く気が付いてよかったです。
甘い言葉には注意ください。

調べると延滞税など色々ででくるのですがこの場合具体的にはなにがかかるのでしょうか？
また自己申告したとして、前歴などつく可能性はあるのでしょうか？

ご質問に回答させていただきます
①と③の答えとしては、
給与所得に対する税金の徴収・計算方法は、会社は退社する際に、勤務していた方にそれまでの支払額、源泉等が記入してある「源泉徴収票」を交付します。勤務者は新たに勤務する会社にその「源泉徴収票」を提出し、会社はその後の支給額当をもとに年末調整という方法で、その勤務者に対する税額を確定させます。
それらを行っていなければ、勤務していた会社には問題があります。
その場合でも、確定申告を行うことにより給与所得に対する税金の清算はできます。
（給与収入１１０万円の場合給与所得控除額５５万円を差し引いた５５万円から基礎控除額４８万円を控除した金額７万円が所得税の対象　⇒この場合所得税は５％相当の３千５百円）
問題は、ご質問者より、親御さんの所得税です。扶養控除の対象からはずれると金額を含め影響は大きいでしょう。ですので、親御さんに説明し、速やかに税務署に相談に行くことをお勧めします。
持参する書類は、ご質問者の①身分を証明するもの、②１年間の給与収入が分かるもの③そのほか所得金額控除できるものがあればその書類（国税庁のホームページを参照してください。）
税務署には、真摯に説明をしてください。
②採用を内定している会社に税務署から情報提供することはありません。

三ヶ原様
丁寧なご回答ありがとうございます。

追加で質問です。
私と会社はそれぞれどのようなペナルティを負うことになりますか？

またこの件についてはしっかり自主的に修正申告をしますが、前歴などはついたりするのでしょうか、、

追加のご質問ありがとうございます。
ご質問者に関しては、ご質問の内容とおりであれば、発生する所得税額が少額のため大きくはないでしょう。延滞税も発生しないかも知れません。
刑事罰という意味では前歴はつきません。
余計なことかも知れませんが、源泉徴収されていれば、還付される場合もあります。今回は期待できないかも知れませんが。

迅速なご対応ありがとうございました。
早い段階で良くないことだと気がつけたので、しっかり修正申告をします。ありがとうございました。

そうすることを強くお勧めします。