業務委託で働いている外国人が永住権を取得するには特別区民税・部民税を払うべき？

まだ永住権がないみたいですから、日本で働くなら、在留資格をとって、就労許可をもらわないといけないと思います。
多分　ビザ申請を行政書士さんに頼んでると思うので、相談は行政書士さんとするといいです。

完全に勘違いされたと思います。労働許可が当然あります（週28時間）。今は28時間以内で仕事をしています。
私を雇っている会社が給料から所得税だけ引いています。住民税を払ってもらっていないです。
永住権に申請する前に、確定申告を出して住民税を払うべきかという質問でした。
よろしくお願いいたします。

いまあなたを雇っている会社が、年末に、今年の収入をあなたが住んでいる区役所などへ報告してくれます。
あなたが確定申告をしなくても、来年、区役所からあなたに請求がきます。あるいはいま働いている会社で住民税が源泉徴収されます。
あなたはなにもしなくて大丈夫です。

訂正です。
「業務委託契約」と「雇用契約」の違いは分かりますか。
いままでの説明は、あなたと会社の契約が「雇用契約」の場合の説明です。
もし、契約があなたが言うように「業務委託契約」なら基本的に確定申告をしないといけません。いまの会社が引いている所得税も仮の数字で、精算をしないといけません。もし「業務委託契約」なら、年があけたら、税務署に相談に行くと、申告書の書き方などを教えてくれると思います。