家庭教師 所得の証明

ご質問者の仰る通り、ご自身で帳簿を作成できれば大丈夫です。
確定申告をする際、証拠書類の提出は求められませんので、帳簿が作成できていれば、確定申告を行うことは可能です。

確定申告が必要な額に到達しなかった場合、市民税の申告?をしようと思うのですが、そこでも同様ですか?

また、支払調書を貰ってるところがある場合、支払調書に書いてある額を帳簿に記入し支払調書は提出しなくていいのでしょうか?

市民税の申告でも同様です。

支払調書が発行されている売上がある場合には、その売上を帳簿に含めます。支払調書の提出は必要ありません。