親の子供名義の預金について

相続時に相続されるのが宜しいのかと存じます。名義預金であり、贈与契約もありませんし、贈与されているものではありませんから。相続税申告も不要であれば、税負担もありませんし。

相続人お二人ですと、相続の際の非課税枠は4200万円です。
ご相談文の限りでは、相続税がかかるかかからないか、微妙なところかと思います。しかし、相続税が掛ったとしても、多額の相続税ではないと考えられますので、相続時精算課税でよろしいかと存じます。

ただし、いったん相続時精算課税を利用したなら、今後、お母様から頂く一切の贈与は相続時精算課税の適用となり、暦年の非課税110万円は使えませんのでご注意ください。
お母様から、生活費等の非課税贈与以外の贈与を受けた場合には、1円から(1年では切り捨てですが)申告義務が生じます。

そういった縛りが嫌な場合、または、相続税の申告をしなくて済むようにしたい場合には、110万円ずつ、その年ごとに贈与を受けるのがよろしいでしょう。

一方的に振込されたもので、贈与でないため、一旦戻したほうがよいと思います。
相続発生時に、相続財産でお願いします。

持ち家があり、預金も2千万円ほどお持ちとなりますと、相続税が掛かる可能性も考えられます。
相続人予定者が相談者様と弟さんのお二人いらっしゃるとのことですので、お二人に110万円ずつ（計220万円）贈与されるのも宜しいと考えます。
その場合には、850万円は一旦お母様の口座に戻していただき、改めてお二人に110万円ずつ贈与していただくのが望ましいです。実行の際には、後日のために、贈与の都度、贈与契約書を作成することをお勧めいたします。