夫婦間の施設費、生活費、介護費等のお金の移動

贈与の合意(あげる、もらう)がなければ、父親からの預り金で問題ないと思います。

お父様とお母様は、別居の状態でも、以前婚姻状態が継続し、生計を一にすると解します。現在ご相談者様がお母様の為に民法877条第1項は，「直系血族及び兄弟姉妹は互いに扶養をする義務がある。」により生活を補助されているのではないでしょうか？それであれば、お父様からお母様の振り込みは単なる資金移動に過ぎないと解します。

贈与の懸念は、扶養義務の範囲内ですのでまったく気にする必要はありません。

他、ご両親の預金を引き出すのに本人確認等の事務負担が重く、日常に支障をきたしますので、一部の信託銀行で生活費の引き出しについて信託を設定し、定額、指示人（※今回の場合、長女）の指示を受けてその範囲内であれば引き出すことができるようにする、といった商品も現れてきました。

その前に、当面の生活費等、母の生活費等も工面するために長女の口座に振り込んでもらい、それを基に父、母の生活費等を賄っていくことでも良いのかとは存じます。

入出金履歴等、通帳のメモ等残しておけば贈与に該当することもありません。

ご回答ありがとうございます。
扶養義務の範囲なら贈与税はかからないとわかりました。
また子供の口座に振り込んでもらっても良いこともわかりました。
ありがとうございます。

なお、贈与税がかからない財産は、生活費や教育費として必要な都度直接これらに充てるためのものに限られます。
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/zoyo/4405.htm

扶養義務があっても、必要な都度でないと、贈与税のリスクがあります。