名義預金についてご相談があります。

お子様名義の通帳について整理すると、現在はお子様ご自身で管理、使用している状況ですね。
この通帳に入金された金額のうち、親戚や質問者様のご両親からのお祝いやお年玉などは贈与税が課税されない財産の贈与にあたると考えられます。
上記のほか質問者様ご自身から1万円づつ貯めているとのことですが、こちらは贈与税の対象となる可能性があります。ただし、年間110万円以下の贈与でしたら贈与税は発生しません。
贈与税は暦年課税といいまして、1年間ごとに贈与で貰った（1万円づつ貯めた）金額を集計して贈与税を計算する仕組みです。
なお贈与税は財産（今回の場合は預金）を貰った人が贈与税を納税します。

【参考】
贈与税が課税されない財産の参考URL
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/taxanswer/zoyo/4405.htm

※親戚などからのお祝い等が贈与税が課税されない理由は、上記URLの
『2夫婦や親子、兄弟姉妹などの扶養義務者から生活費や教育費に充てるために取得した財産で、通常必要と認められるもの』
に該当するものと考えられます。

文面からはならないように考えます。
取り越し苦労ではないでしょうか？

ご返信、大変有り難く読ませていただきました。
この数週間悩みに悩み続けておりました。
本当に、ありがとうございます。

再度すみません。

1年間ごとに贈与で貰った（1万円づつ貯めた）金額を集計して贈与税を計算する仕組みです。
なお贈与税は財産（今回の場合は預金）を貰った人が贈与税を納税します。

とのことですが、これは、一万円づつなら、年間私からは１２万なので、問題ないという解釈で大丈夫でしょうか。
渡した時点での残高ではないのでしょうか。
あと、最後の文面ですが、預金を貰った子供は、結局贈与税を納税しないといけないのでしょうか。

ご質問ありがとうございます。
贈与税の計算について
『これは、一万円づつなら、年間私からは１２万なので、問題ないという解釈で大丈夫でしょうか。』

とのご質問ですが、おっしゃる通り贈与税の問題はありません。
『1年間でいくら渡したか』で贈与税は計算していきます。
従って1年間に12万円の贈与があったと考えます。

ただし、例えば200万円を200ヵ月（1か月あたり1万円）で分割して渡すと贈与者（金銭をあげる人）と受贈者（金銭を貰う人）の間で契約している場合は、たとえ毎月1万円を貯めるとしていても1年間に200万円の贈与があったと考えます。

預金を貰ったお子様は、1年間に受け取った金銭が110万円以下でしたら贈与税は発生しないので納税する必要はないと考えます。

重ね重ねありがとうございました。
また、不安に思うことがありましたら、ご相談させてください。
よろしくお願いします。