名義預金を、親から「あなたのものとして使いなさい」と言われました。

ご質問の文面から、ご相談者様は問題となっている預金について、ご相談者様が管理をしているものの、お父様のお金として認識されているようにお見受けいたします。
この場合、贈与はあげる側ともらう側で「あげます」「もらいます」の双方の意思が無いですから、お父様からご相談者様への贈与は成立していないと考えられます。
したがって、そちらの預金については、お父様の財産となり、遺言書がないのであれば、本来はお兄様と遺産分割協議をして分け方を決めるのが相当であると思料いたします。
なお、被相続人の預金の取引履歴は、相続人であれば基本的に過去10年間分は取得する事ができます。
つまり、お兄様はご相談者様から、問題の預金の件を知らされなければ、15年前の預金の動きを察知するのは難しいでしょう。

回答ありがとうございます。
今現在、父の財産ということになれば、「贈与契約書を交わす」ことで、年間１１０万円の贈与は受け手れるということになりますか。

本音は、父と兄との関係性が良くなり、父の預金を2等分したい,という思いはありますが、あまりにもこじれた場合のことを考えています。父もです。

兄も、父にいくばくかの預金がある・・と考えているだろうし、私も、それをほのめかしたことがある（ある程度、通帳に預金がある・・）のです。
しかし、それが私の名義預金とは教えていません。

なお、被相続人の預金の取引履歴は、相続人であれば基本的に過去10年間分は取得する事ができます。

１０年間父は「名義預金」に入金していませんし、３年前までは、お金はその名義預金から引き出しています。
この履歴も、残らないということでしょうか。

兄に知らせなければ、名義預金のお金の存在は調べても分からない、という認識でいいですか。

今現在、父の財産ということになれば、「贈与契約書を交わす」ことで、年間１１０万円の贈与は受け手れるということになりますか。
→はい。贈与税の基礎控除内であれば歴年110万円は受け取れます。

１０年間父は「名義預金」に入金していませんし、３年前までは、お金はその名義預金から引き出しています。
この履歴も、残らないということでしょうか。
→過去10年間、名義預金に入金がなく、3年前まで名義預金から出金されている履歴は残っています。
　その履歴を金融機関に請求できるのは名義人であるご相談者様です。

兄に知らせなければ、名義預金のお金の存在は調べても分からない、という認識でいいですか。
→金融機関は過去10年分の履歴を保存する義務があります。それよりも前の履歴について残すのか破棄するのか、名義人や相続人に履歴を交付するのか否かは、金融機関によりますので、絶対に調べられないとは言えません。
　しかし、多くの金融機関では保存している履歴は過去10年分です。

返信ありがとうございます。
私の名義預金について、兄が知っていようが、いまいが、
兄が、父親のあらゆる銀行の履歴を見て、１０年以上前でも、「父が私名義で口座を作った」ということは、調べることは可能なのですね。

兄が、父親のあらゆる銀行の履歴を見て、１０年以上前でも、「父が私名義で口座を作った」ということは、調べることは可能なのですね。
→多くの金融機関では、10年以上前の取引履歴は請求できませんので、その可能性は低いと思います。
　ただし、お父様の取引している金融機関が、絶対に10年以上前の取引履歴の請求ができないかどうかは、私個人には分かりかねますため、その取引金融機関に直接お問い合わせください。