相続税をいくら払ったか調べる方法はないでしょうか。

ご質問者様は相続税申告者だったのでしょうか。
もしそうであれば、他の申告者の委任状等が必要ですが、税務署での相続税申告書の閲覧という方法があります。

相談者様は遺産を全く受け取られなかったのでしょうか。
少しでも遺産を受け取っていらっしゃっていて、相続税の申告が必要な状況であったとすれば、相続税の申告書の控えが相続人のどなたかの手元に残っていると思われます。
万一、紛失等されてしまった場合には、税務署に提出した申告書の閲覧制度がありますので、その制度を利用すると内容が確認できます。
https://www.nta.go.jp/law/jimu-unei/sonota/050301/01.htm

もし、遺言書が財産を全く受け取れない内容であった場合でも、相談者様は被相続人（お父様）の実子である訳ですから、ご自分の遺留分（法定相続割合の1/2）を請求する権利（遺留分の減殺請求権）がありますので念のためご確認ください。

相続税を納税したのか分からない状態です。
除籍謄本だけで申告書の閲覧は可能でしょうか。

返信ありがとうございます。
除籍謄本よりも申告者全員の委任状（実印が押印されたもの）及び印鑑登録証明書（申請日前30日以内に発行されたもの）のほか申請者の本人確認書類(運転免許証等）などが必要です。

相続税を納税したのか分からないのであって、申告したことは分かっているのでしょうか。
税務署の管理運営部門に相談されてはいかがでしょうか。

相続税の申告は被相続人(お父様)の住所地の所轄税務署に行いますので、お父様の住所地の税務署に先ずはご相談されるのが宜しいと思います。
その際には相続人であることの証明とご自身の身分証明等も必要になりますので、予め税務署に電話で確認をしてから相談に行かれるのが宜しいと思います。
そして、申告書の閲覧をする場合には下記の手続きが必要になります。
https://www.nta.go.jp/law/jimu-unei/sonota/050301/01.htm

税務署に相談してみます。ご回答ありがとうございます。

相続により賃貸収入がある不動産を、他の相続人と共有名義にした場合なのですが、賃貸収入も持分に応じて得ることができるのでしょうか。
その場合ですが税金もかかってくるのでしょうか。

持分に応じて、賃貸収入を得るべきです。
もちろん、不動産所得の対象になり、所得がプラスになれば税金もかかります。

賃貸収入のある不動産を共有で取得(相続)した場合には、収入・経費を共有者の持ち分で案分して受け取り又は支払いをすることになります。そして、持ち分に応じて不動産所得の金額を計算し、一定額を超える場合には確定申告を行う必要があります。