Amazonギフト券を経費にするには

文面から判断する限りでは、可能だと思われます。

当該ギフト券の代金は、収益獲得に貢献しているからです。

ギフト券を送る際の送り状、などを残しておくのがよいかと思います。

送り状は、スクリーンショット等でもいいのでしょうか？

　送り状は宅急便の送り状です。

　スキャナー保存は、いろいろ要件があるので、そのまま保管しておいたほうが無難で、楽です。

https://www.nta.go.jp/law/joho-zeikaishaku/sonota/jirei/tokusetsu/pdf/0023006-085_03.pdf

説明不足で申し訳ないですが、郵送ではなく、ギフト券のギフトコードをネット上で送信した場合の証明方法です。

　その場合は、おっしゃる通り、スクリーンショットを残して、パソコン等に保存しておくので問題ないと思います。

　ファイル名に日付や金額等を入れて、保管しておくとよいでしょう。

　詳細は下記の国税庁のパンフレットを参照してくださいね。
https://www.nta.go.jp/law/joho-zeikaishaku/sonota/jirei/tokusetsu/pdf/0023006-085_01.pdf