インボイスと請求書

インボイス登録番号も屋号も個人に紐づいているものですので、特段問題はないかと存じます。

屋号を外して個人名で登録した場合でも、請求書に屋号を併記してインボイス番号を記載すること自体に問題はありません。
インボイス制度において、登録名義は「氏名または名称」であり、実際の請求書等には登録された氏名（＝個人名）が明記されていれば要件を満たします。その上で、屋号を付記することは慣例上も認められており、顧客との取引上の混乱を避ける意味でも有用です。
ただし、登録情報と請求書の記載内容に重大な齟齬がないよう、体裁上は「氏名（屋号）」という書き方が望ましいでしょう。