亡き父の市民税について

財産を相続されているのでしたら、税金などの負の財産についても相続していることになりますので、ご質問の市民税につきましても納付する義務があります。
ただ、いままで通知がなかったのに延滞金も追加されて、というのは不自然な気がしますので、まずは市役所の担当課に説明を求め、納得いかなければ市の相談窓口に相談をされても良いかと考えます。

返答ありがとうございます。
担当の税務課にお話伺いましたが
延滞金も払ってくださいとのことです。
法律できまってますと。
市の相談窓口はどちらになるのでしょうか…？大阪市在住です

いままで通知が無かった件など、納得いく説明をしていただけなかったのでしょうか？

こちらが大阪市の相談窓口となるようです
https://www.city.osaka.lg.jp/seisakukikakushitsu/page/0000085720.html

再度のご返答ありがとうございます

相続者を探すのに時間がかかり
4年の月日がかかったそうです……

父が12月に亡くなり
疎遠だった為しったのは3月末
負の遺産がないか等調べたりし相続し終わったのが7月頃です。

それにしても4年という月日はながすぎないでしょうか……
もしこれが10年後に送られてきても
延滞金を払ってくださいと言われるんですよね…？
相続の際会計士に頼み全ての手続きをしました。
年金はその年に通知がきて支払いました。

そちらのことも伝えましたが
ですが市税に関してはこちらから
連絡をして調べないといけないとの返答でした。

それが法律できまってるそうです。

市の担当者に相談したところ
法律上払わないといけないと
同じ返答でした……

税理士さんに軽く相談したこと
4年の月日はおかしくないでしょうか…？
と伝えたところ対応がかわり
納得のいく返答ができるかわからないが税務署に問い合わせし
明日また連絡しますとのことです。

そして本日までの納期期限だったため
明日まで返答待つための
その分の延滞金も別にかかるそうです…
それでも延滞金をどうこうするということは難しいみたいです。
ただ明日状況を把握しできるだけ納得のいく説明をさせていただきますという返答でした……

可能性は小さいですが、延滞金の減免申請なども聞いてみると良いかもしれません。
担当者の怠慢が原因かもしれないなど、納得のいく説明がいただけなければ、弁護士に依頼して争うことになるかと考えます。