扶養を抜けたあとについて

あなたは実家にお住まいされてますか。

おそらく、あなたが実家を住所地として確定申告したために所轄の市役所が住民税の決定通知書を実家宛に送ったものと考えられます。
そうであれば、来年また実家を住所地として確定申告すればまた同じ結果になりますね。
仮に、確定申告しない場合ですが、勤務先はあなたが届出している住所を管轄している市役所にあなたの給与支払報告書(給与の支払金額と源泉徴収税額等を記載したもの)を提出。市役所はその給与支払報告書を基にあなたの住民税の決定通知をすることになって、結果、住民税の決定通知書が実家に送付されることになります。

では、実家に住民税の決定通知書が行かないようにするためにはどうしたらよいかですが、あなたが確定申告するときの住所地と勤務先に届出している住所地を実家以外にするしかないと思います。
もし、実家とは別の住所があれば、そこを住所として勤務先に届出するとともに税務署に確定申告すれば、住民税の決定通知書はそちらに郵送されます。