どちらの国で申告し税金を払うのでしょうか？

非居住者は、国内源泉所得が所得税の課税対象になります。
非居住者の国内における事業所得の場合、国内に恒久的施設がなければ、円による決済でも、所得税は課税対象外、申告不要になります。
恒久的施設は、下記を参考にしてください。
「参考」
「恒久的施設」という用語は、一般的に、「PE」(Permanent Establishment)と略称されており、次の3つの種類に区分されています。

(1) 支店、出張所、事業所、事務所、工場、倉庫業者の倉庫、鉱山・採石場等天然資源を採取する場所。ただし、資産を購入したり、保管したり、事業遂行のための補助的活動をしたりする用途のみに使われる場所は含みません。
(2) 建設、据付け、組立て等の建設作業等のための役務の提供で、1年を超えて行うもの。
(3) 非居住者等のためにその事業に関し契約を結ぶ権限のある者で、常にその権限を行使する者や在庫商品を保有しその出入庫管理を代理で行う者、あるいは注文を受けるための代理人等（代理人等が、その事業に係る業務を非居住者等に対して独立して行い、かつ、通常の方法により行う場合の代理人等を除きます。）。
 日本国内に恒久的施設を有するかどうかを判定するに当たっては、形式的に行うのではなく機能的な側面を重視して判定することになります。例えば、事業活動の拠点となっているホテルの一室は、恒久的施設に該当しますが、単なる製品の貯蔵庫は恒久的施設に該当しないことになります。

※　税制改正について
　平成30年度税制改正により、恒久的施設の定義について、恒久的施設認定の人為的回避に対応するため等の所要の改正が行われました。この改正は、平成31年（2019年）分以後の所得税及び平成31（2019年）年1月1日以後に開始する事業年度分の法人税について適用されます。

回答ありがとうございます。日本に拠点がある場合、インドネシアで飲食店などビジネスをする場合でも日本での申告になるのでしょうか？インドネシア側では申告しなくて良いのでしょうか？宜しければ回答お願い致します。

非居住者の国外所得は、所得税の課税対象外になります。
インドネシアで申告する事になると考えます。

回答ありがとうございます。
居住者の件ですが日本で役員報酬などの所得がある場合でも非居住者になり得るのでしょうか？また、回答に非居住者の国外所得は、所得税の課税対象外と書かれておりましたが、居住者の国外所得の場合はどうなりますか？宜しくお願い致します。

日本国内から役員報酬等(給与等)の支払がある場合には、居住者、非居住者の判定が必要になると考えます。
居住者は国内、国外を問わず、所得税の課税対象になります。

回答ありがとうございます。
個人輸入に関してですが、私がインドネシア側で商品を購入し、日本のお客様に向けて商品を送ります。個人輸入と言う形です。この場合、関税などある場合はお客様が支払う事になると思うのですが、個人輸入しているのは、送った側になるのでしょうか？購入したお客様側になるのでしょうか？関税などある場合、お客様が支払うので個人輸入するのはあくまでお客様であって、インドネシア側はあくまで代行との認識があります。認識に誤りがありますでしょうか？

輸入代行の場合、商品に対する関税、消費税は、お届け先をお客様とされれば、お客様が直接支払うと事になります。

回答ありがとうございます。
お届け先がお客様の場合はお客様が輸入した事になり税金を払うとの事ですが、この場合でも、インドネシア側は日本での税金の申告になりますか？それとも非居住者・居住者がやはり関係するのでしょうか？

回答ありがとうございます。
個人輸入に関してですが、私がインドネシア側で商品を購入し、日本のお客様に向けて商品を送ります。個人輸入と言う形です。この場合、関税などある場合はお客様が支払う事になると思うのですが、個人輸入しているのは、送った側になるのでしょうか？購入したお客様側になるのでしょうか？関税や消費税などある場合、お客様が支払うので個人輸入するのはあくまでお客様であって、インドネシア側はあくまで代行との認識があります。認識に誤りがありますでしょうか？

ご質問者は非居住者ですから、国外源泉所得は、日本の所得税の申告対象にはなりません。
インドネシアの税法に基づいて申告する事になります。