インボイス登録申請をした方が良いのでしょうか？

また、「売り上げ1,000万円以下で免税事業者だった人が厳しい状況に…」ということのようですが、

→現在は免税事業者からの仕入も課税事業者は仕入税額控除ができますが、インボイス制移行後は最終的にできなくなるため、下記に記載の通り課税事業者が免税事業者への仕事の依頼を減らす可能性があり、仕事を減らされないように適格請求書等（インボイス）発行事業者となり課税事業者となった場合、免税事業者の時のように受け取った消費税を自分の収入にできなくなるということです。（納税しなければいけなくなるからです）
また、仕事が減らされる可能性があっても免税事業者を選択した場合、免税事業者を理由に現在のように消費税を付加して貰えなくなる可能性があります。

売り上げ1,000万円以下で、個人事業主として確定申告（青色）しています。
わたしは課税事業者ということででしょうか？

→自ら課税事業者を選択する届出をしておらず売上が毎年1,000万円以下であれば、課税事業者ではなく免税事業者です。

その上で、音楽事務所から仕事を受けているのであれば、インボイス制移行後は音楽事務所が免税事業者に支払う報酬等は最終的に仕入税額控除ができなくなり、音楽事務所はその分消費税を多く納めることになりますので、免罪事業者への仕事の発注を減らす可能性が出てくると思います。
つまり、ご質問者様が免税事業者のままで適格請求書等（インボイス）発行事業者の登録をしなければ仕事が減る可能性があるということです。

音楽事務所との関係性がわからない状況で、上記の通り可能性での話ですので、判断はご自身でしてください。

早速のご回答を大変ありがとうございます。
もし適格請求書等（インボイス）発行事業者になった場合、
同様に、ある仕事を税込10万円で請けるとすると、
10万円から源泉徴収税と特別復興税が差し引かれた金額が振り込まれる、ということでしょうか？
それとも10万円が自分の手元に振り込まれたのち、自分で消費税を払うということでしょうか？

厳密な計算は少し異なりますが、分かり易いように記載します。
税込10万円の場合、源泉所得税及び復興特別所得税は現状と同じように差し引かれた金額が振り込まれ、10万円×10/110＝消費税9,090円はご自身で申告納税する必要があります。

わかりやすくご回答してくださり大変ありがとうございます。