会社役員が海外移住後に米株や暗号通貨から得た利益に対しての納税義務の有無

１）について
海外移住後であっても、合同会社から役員報酬を受け取っているのであれば、この役員報酬には（非居住者に対する）源泉所得税が課税されます。日本法人の役員報酬は日本の「国内源泉所得」に該当します。

２）について
日本の証券会社の口座は、原則として「非居住者」は開設できませんので、証券会社によっては海外移住前に資産を処分（売却）しなければならない場合があります。このため、「海外移住後に株の売却と暗号通貨の換金を行え得る」とは限りません。証券会社にお問い合わせください。
海外移住後に売却・換金可能であれば日本では課税されません。ただし、資産価額が高額（１億円以上）な場合、海外移転時、「国外転出時課税制度」により含み益が課税されます。

ご教示頂きありがとうございました♪

1)についてですが
日本の合同会社からの役員報酬ではなく、海外に居住中で発生した所得(個人事業、現地の会社での給与など)には納税義務がないという理解で合ってますか？

海外移住国で発生した所得は日本では課税されません。したがって、日本には申告納税義務はありません。

今回も丁寧にお答え頂きありがとうございました。